3.578 \(\int \frac {\cos ^3(c+d x) (A+C \cos ^2(c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=372 \[ -\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x) \cos ^3(c+d x)}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {x \left (C \left (12 a^2+b^2\right )+2 A b^2\right )}{2 b^5}-\frac {a \left (12 a^4 C+a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C+3 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (6 a^4 C+a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {a \left (12 a^6 C+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+6 A b^6\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[Out]

1/2*(2*A*b^2+(12*a^2+b^2)*C)*x/b^5-a*(6*A*b^6+a^4*b^2*(2*A-29*C)-5*a^2*b^4*(A-4*C)+12*a^6*C)*arctan((a-b)^(1/2
)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/(a-b)^(5/2)/b^5/(a+b)^(5/2)/d-1/2*a*(a^2*b^2*(2*A-21*C)-b^4*(5*A-6*C)+12*a^4
*C)*sin(d*x+c)/b^4/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(a^2*b^2*(A-10*C)-b^4*(4*A-C)+6*a^4*C)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2
)^2/d-1/2*(A*b^2+C*a^2)*cos(d*x+c)^3*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/2*(3*A*b^4-4*C*a^4+7*C*a^2*
b^2)*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.49, antiderivative size = 372, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 33, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3048, 3047, 3049, 3023, 2735, 2659, 205} \[ -\frac {a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)+12 a^4 C-b^4 (5 A-6 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {a \left (a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C+6 A b^6\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}}-\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x) \cos ^3(c+d x)}{2 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 b^2 C-4 a^4 C+3 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{2 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)+6 a^4 C-b^4 (4 A-C)\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {x \left (C \left (12 a^2+b^2\right )+2 A b^2\right )}{2 b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

((2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^5) - (a*(6*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^6*C
)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/((a - b)^(5/2)*b^5*(a + b)^(5/2)*d) - (a*(a^2*b^2*(2*A -
21*C) - b^4*(5*A - 6*C) + 12*a^4*C)*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^2*b^2*(A - 10*C) - b^4*(4*A -
C) + 6*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^3*(a^2 - b^2)^2*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*
x])/(2*b*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + ((3*A*b^4 - 4*a^4*C + 7*a^2*b^2*C)*Cos[c + d*x]^2*Sin[c + d*x
])/(2*b^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2659

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[(2*e)/d, Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2735

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*x)/d
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3023

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 2)), x] + Dist[1/(b*
(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x], x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3047

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(
c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + (c
*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*c*
d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)
))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3048

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((c^2*C + A*d^2)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[
e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m
- 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + c*C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (A*d*(a*d*(n +
2) - b*c*(n + 1)) - C*(b*c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] - b*(A*d^2*(m + n + 2) + C*(c^2*(
m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3049

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e +
f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(m + n + 2)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x]
)^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n + 2)
- C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2
, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx &=-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (3 \left (A b^2+a^2 C\right )-2 a b (A+C) \cos (c+d x)-2 \left (A b^2+2 a^2 C-b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right )}\\ &=-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right )-a b \left (3 A b^2-\left (a^2-4 b^2\right ) C\right ) \cos (c+d x)+2 \left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {2 a \left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right )-2 b \left (2 a^4 C-b^4 (2 A+C)-a^2 b^2 (A+4 C)\right ) \cos (c+d x)-2 a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)+12 a^4 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=-\frac {a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)+12 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {2 a b \left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right )+2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (2 A b^2+\left (12 a^2+b^2\right ) C\right ) \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (2 A b^2+\left (12 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^5}-\frac {a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)+12 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^5 \left (a^2-b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (2 A b^2+\left (12 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^5}-\frac {a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)+12 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (a \left (6 A b^6+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+12 a^6 C\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d}\\ &=\frac {\left (2 A b^2+\left (12 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^5}-\frac {a \left (2 a^4 A b^2-5 a^2 A b^4+6 A b^6+12 a^6 C-29 a^4 b^2 C+20 a^2 b^4 C\right ) \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{(a-b)^{5/2} b^5 (a+b)^{5/2} d}-\frac {a \left (a^2 b^2 (2 A-21 C)-b^4 (5 A-6 C)+12 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^2 b^2 (A-10 C)-b^4 (4 A-C)+6 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (3 A b^4-4 a^4 C+7 a^2 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 2.38, size = 256, normalized size = 0.69 \[ \frac {2 (c+d x) \left (C \left (12 a^2+b^2\right )+2 A b^2\right )+\frac {2 a^2 b \left (-7 a^4 C+a^2 b^2 (10 C-3 A)+6 A b^4\right ) \sin (c+d x)}{(a-b)^2 (a+b)^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {2 a^3 b \left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x)}{(a-b) (a+b) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {4 a \left (12 a^6 C+a^4 b^2 (2 A-29 C)-5 a^2 b^4 (A-4 C)+6 A b^6\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {b^2-a^2}}\right )}{\left (b^2-a^2\right )^{5/2}}-12 a b C \sin (c+d x)+b^2 C \sin (2 (c+d x))}{4 b^5 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^3*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

(2*(2*A*b^2 + (12*a^2 + b^2)*C)*(c + d*x) + (4*a*(6*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 29*C) - 5*a^2*b^4*(A - 4*C) + 12*a^
6*C)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(5/2) - 12*a*b*C*Sin[c + d*x] + (2*a^3
*b*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/((a - b)*(a + b)*(a + b*Cos[c + d*x])^2) + (2*a^2*b*(6*A*b^4 - 7*a^4*C + a^2*
b^2*(-3*A + 10*C))*Sin[c + d*x])/((a - b)^2*(a + b)^2*(a + b*Cos[c + d*x])) + b^2*C*Sin[2*(c + d*x)])/(4*b^5*d
)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.01, size = 1535, normalized size = 4.13 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(2*(12*C*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 - (2*A + C)*b^10
)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 4*(12*C*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 -
(2*A + C)*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 2*(12*C*a^10 + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 - 3*(2*A - 11*C)*a^6*b^4 + 3*(2*A - 3
*C)*a^4*b^6 - (2*A + C)*a^2*b^8)*d*x - (12*C*a^9 + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 + 6*A*a^3*b^6 +
(12*C*a^7*b^2 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 + 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^8*b + (2*A
- 29*C)*a^6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^4*b^5 + 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) +
(2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*
x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 2*(12*C*a^9*b + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5 + (5*A - 6
*C)*a^3*b^7 - (C*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 4*(C*a^7*b^3 - 3*C*a^5*b^5 + 3
*C*a^3*b^7 - C*a*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (18*C*a^8*b^2 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 - (9*A - 43*C)*a^4*b^6 + (6*A - 11
*C)*a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*
b^6 - 3*a^5*b^8 + 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d), 1/2*(
(12*C*a^8*b^2 + (2*A - 35*C)*a^6*b^4 - 3*(2*A - 11*C)*a^4*b^6 + 3*(2*A - 3*C)*a^2*b^8 - (2*A + C)*b^10)*d*x*co
s(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^9*b + (2*A - 35*C)*a^7*b^3 - 3*(2*A - 11*C)*a^5*b^5 + 3*(2*A - 3*C)*a^3*b^7 - (2*A +
C)*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + (12*C*a^10 + (2*A - 35*C)*a^8*b^2 - 3*(2*A - 11*C)*a^6*b^4 + 3*(2*A - 3*C)*a^4*b^
6 - (2*A + C)*a^2*b^8)*d*x - (12*C*a^9 + (2*A - 29*C)*a^7*b^2 - 5*(A - 4*C)*a^5*b^4 + 6*A*a^3*b^6 + (12*C*a^7*
b^2 + (2*A - 29*C)*a^5*b^4 - 5*(A - 4*C)*a^3*b^6 + 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(12*C*a^8*b + (2*A - 29*C)*a^
6*b^3 - 5*(A - 4*C)*a^4*b^5 + 6*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^
2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (12*C*a^9*b + (2*A - 33*C)*a^7*b^3 - (7*A - 27*C)*a^5*b^5 + (5*A - 6*C)*a^3*b^7 - (C
*a^6*b^4 - 3*C*a^4*b^6 + 3*C*a^2*b^8 - C*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 4*(C*a^7*b^3 - 3*C*a^5*b^5 + 3*C*a^3*b^7 - C*a
*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (18*C*a^8*b^2 + (3*A - 50*C)*a^6*b^4 - (9*A - 43*C)*a^4*b^6 + (6*A - 11*C)*a^2*b^8)*cos
(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^6*b^7 - 3*a^4*b^9 + 3*a^2*b^11 - b^13)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^7*b^6 - 3*a^5*b^8
+ 3*a^3*b^10 - a*b^12)*d*cos(d*x + c) + (a^8*b^5 - 3*a^6*b^7 + 3*a^4*b^9 - a^2*b^11)*d)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 2.44, size = 2494, normalized size = 6.70 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(((2*a^4*b^2 - a^3*b^3 - 4*a^2*b^4 + 4*a*b^5 + 2*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*ab
s(-a + b) + (12*a^6 - 6*a^5*b - 23*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 + 10*a^2*b^4 - a*b^5 + b^6)*sqrt(a^2 - b^2)*C*abs(a^4*
b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)*abs(-a + b) + (4*a^9*b^6 - 2*a^8*b^7 - 17*a^7*b^8 + 8*a^6*b^9 + 30*a^5*b^10 - 12*a^4*b^
11 - 25*a^3*b^12 + 8*a^2*b^13 + 8*a*b^14 - 2*b^15)*sqrt(a^2 - b^2)*A*abs(-a + b) + (24*a^11*b^4 - 12*a^10*b^5
- 100*a^9*b^6 + 47*a^8*b^7 + 158*a^7*b^8 - 68*a^6*b^9 - 111*a^5*b^10 + 42*a^4*b^11 + 28*a^3*b^12 - 8*a^2*b^13
+ a*b^14 - b^15)*sqrt(a^2 - b^2)*C*abs(-a + b))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(2*tan(1/2*d*x + 1/2
*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 + sqrt(-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + a*b^8 + b^9)
*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2))/(a^5*b^4 - a
^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/((a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)^2*(a^2 - 2*a*b + b^2) + (a^7*b^4
- 2*a^6*b^5 - a^5*b^6 + 4*a^4*b^7 - a^3*b^8 - 2*a^2*b^9 + a*b^10)*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)) - (24*C*a^1
1*b^4 - 12*C*a^10*b^5 + 4*A*a^9*b^6 - 100*C*a^9*b^6 - 2*A*a^8*b^7 + 47*C*a^8*b^7 - 17*A*a^7*b^8 + 158*C*a^7*b^
8 + 8*A*a^6*b^9 - 68*C*a^6*b^9 + 30*A*a^5*b^10 - 111*C*a^5*b^10 - 12*A*a^4*b^11 + 42*C*a^4*b^11 - 25*A*a^3*b^1
2 + 28*C*a^3*b^12 + 8*A*a^2*b^13 - 8*C*a^2*b^13 + 8*A*a*b^14 + C*a*b^14 - 2*A*b^15 - C*b^15 - 12*C*a^6*abs(a^4
*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 6*C*a^5*b*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*A*a^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9
) + 23*C*a^4*b^2*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + A*a^3*b^3*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 10*C*a^3*b^3*abs(
a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + 4*A*a^2*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 10*C*a^2*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7
+ b^9) - 4*A*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + C*a*b^5*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*A*b^6*abs(a^4*
b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - C*b^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(2*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)/sqrt((4*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 + 4*a*b^8 - sqrt(-16*(a^5*b^4 + a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7
+ a*b^8 + b^9)*(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9) + 16*(a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 + a*b^8)^2
))/(a^5*b^4 - a^4*b^5 - 2*a^3*b^6 + 2*a^2*b^7 + a*b^8 - b^9))))/(a^5*b^4*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - 2*a^
3*b^6*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) + a*b^8*abs(a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9) - (a^4*b^5 - 2*a^2*b^7 + b^9)^2) +
2*(12*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 -
17*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
7 - 5*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^7 - 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 3
6*C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 67*C
*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 29*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 1
5*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 26*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5
- 5*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*
C*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*C*a
^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 15*
A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 +
5*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 12*C*
a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*C*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 17*C*a^5*b^2*t
an(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 33*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 5*A*a^3*b^4*tan(1
/2*d*x + 1/2*c) - 2*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 13*C*a^2*b^5*tan(1/2*d
*x + 1/2*c) + 4*C*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - C*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*(a*tan
(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 2*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2))/d

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.14, size = 1428, normalized size = 3.84 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(d*x+c)^3*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x)

[Out]

-6/d*a^6/b^4/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C-1/d*a^5/
b^3/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C+10/d*a^4/b^2/(a*t
an(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C-6/d*a^6/b^4/(a*tan(1/2*d*
x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C+1/d*a^5/b^3/(a*tan(1/2*d
*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C+10/d*a^4/b^2/(a*tan(1/2
*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C-1/d*a^3/b/(a*tan(1/2*
d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A+1/d*a^3/b/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^
2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A-2/d*a^4/b^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)
^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*A-2/d*a^4/b^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c
)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*A+2/d/b^3*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*A+1/d/
b^3*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*C-6/d*a*b/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-
b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*A-2/d*a^5/b^3/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/
((a-b)*(a+b))^(1/2))*A+5/d*a^3/b/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b
)*(a+b))^(1/2))*A+6/d*a^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*
d*x+1/2*c)^3*A+6/d*a^2/(a*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*
A-12/d*a^7/b^5/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*C+
29/d*a^5/b^3/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*C-20
/d*a^3/b/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)*(a-b)/((a-b)*(a+b))^(1/2))*C+1/d/b^
3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C-1/d/b^3/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C+12
/d/b^5*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))*a^2*C-6/d/b^4/(1+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3*C*a-6/d/b^4/(1
+tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c)*C*a

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)^3*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more details)Is 4*b^2-4*a^2 positive or negative?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 14.46, size = 10483, normalized size = 28.18 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((cos(c + d*x)^3*(A + C*cos(c + d*x)^2))/(a + b*cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

(a*atan(((a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C
^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7
*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 -
108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 +
1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A
*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*
C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5
*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a
^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^
2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 +
212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*
a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 +
12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32
*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*
b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11
+ 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*
b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*
(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*
a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)) + (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^
14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A
^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^
12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6
- 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 3
6*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 59
8*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^
2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(8*A*
b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14
+ 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b
^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^
18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*(
8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*
a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15
- 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4
+ 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a
^10*b^5)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*
a^4*b^2)*1i)/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))/((8*(1728*C^3*a^15 + 2
4*A^3*a*b^14 - 864*C^3*a^14*b + 48*A^3*a^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3
*a^6*b^9 - 36*A^3*a^7*b^8 - 4*A^3*a^8*b^7 + 8*A^3*a^9*b^6 + 20*C^3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^11 + 411*C^3*a^5*b^
10 - 11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7829*C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^10*b^5 + 11700*C^3*a
^11*b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b^14 + 24*A^2*C*a*b^14 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*
C^2*a^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^11 + 1158*A*C^2*a^5*b^10 + 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*
a^8*b^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 + 2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13
*b^2 + 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 +
1188*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4))/(a*b^18
+ b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A
^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*
b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8
+ 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12
*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 44
4*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*
A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) + (a*(-
(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5
*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4
*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 -
48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 -
a^7*b^12) - (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*
b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b
^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 +
5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))
)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a
^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4
+ 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a
^10*b^5)) + (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 28
8*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*
a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^1
0 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^
4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 10
4*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376
*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*
a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8) - (a*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*
A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C
*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13
+ 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 +
3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + (4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^
6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 +
32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/((b^15 - 5*a
^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^
11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a
^4*b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/
2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2))/(2*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*
a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^7 - a^10*b^5))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 12*C*a^6 - 5*A*a^2*b^
4 + 2*A*a^4*b^2 + 20*C*a^2*b^4 - 29*C*a^4*b^2)*1i)/(d*(b^15 - 5*a^2*b^13 + 10*a^4*b^11 - 10*a^6*b^9 + 5*a^8*b^
7 - a^10*b^5)) - (atan((((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^21
+ 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4
*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15
- 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 +
b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^
2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 -
32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*
b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 -
8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^
5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 -
40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 153
8*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C
*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C
*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^1
3 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))*1i)/b^5 - ((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(
((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 -
72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 -
120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^1
0*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a
^6*b^13 - a^7*b^12) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3
*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*
(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))))/b^5 - (8*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^1
2 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*
A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*
a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*
C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*
b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b
^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)
)*1i)/b^5)/(((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21
- 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13
- 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 276*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*
b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^
2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(
A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16 + 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13
+ 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5
*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))))/b^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^14 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13
- 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11 - 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A
^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b
^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^
5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 -
64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 3
76*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^
12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))/b^5 - (8*(1728*C^3*a^15 + 24*A^3*a*b^14 - 864*C^3*a^14*b +
48*A^3*a^2*b^13 - 68*A^3*a^3*b^12 - 52*A^3*a^4*b^11 + 72*A^3*a^5*b^10 + 26*A^3*a^6*b^9 - 36*A^3*a^7*b^8 - 4*A
^3*a^8*b^7 + 8*A^3*a^9*b^6 + 20*C^3*a^3*b^12 - 20*C^3*a^4*b^11 + 411*C^3*a^5*b^10 - 11*C^3*a^6*b^9 + 1314*C^3*
a^7*b^8 + 2326*C^3*a^8*b^7 - 7829*C^3*a^9*b^6 - 4770*C^3*a^10*b^5 + 11700*C^3*a^11*b^4 + 3456*C^3*a^12*b^3 - 7
344*C^3*a^13*b^2 + 6*A*C^2*a*b^14 + 24*A^2*C*a*b^14 - 6*A*C^2*a^2*b^13 + 207*A*C^2*a^3*b^12 + 33*A*C^2*a^4*b^1
1 + 1158*A*C^2*a^5*b^10 + 1974*A*C^2*a^6*b^9 - 4977*A*C^2*a^7*b^8 - 3405*A*C^2*a^8*b^7 + 6486*A*C^2*a^9*b^6 +
2088*A*C^2*a^10*b^5 - 3744*A*C^2*a^11*b^4 - 432*A*C^2*a^12*b^3 + 864*A*C^2*a^13*b^2 + 12*A^2*C*a^2*b^13 + 300*
A^2*C*a^3*b^12 + 552*A^2*C*a^4*b^11 - 1020*A^2*C*a^5*b^10 - 747*A^2*C*a^6*b^9 + 1188*A^2*C*a^7*b^8 + 408*A^2*C
*a^8*b^7 - 636*A^2*C*a^9*b^6 - 72*A^2*C*a^10*b^5 + 144*A^2*C*a^11*b^4))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^
16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12) + ((C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*6i + b^2*(A
*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^21 + 4*C*b^21 - 16*A*a^2*b^19 + 68*A*a^3*b^18 + 12*A*a^4*b^17 - 72*A*a^5*b^16 - 8*
A*a^6*b^15 + 36*A*a^7*b^14 + 4*A*a^8*b^13 - 8*A*a^9*b^12 + 28*C*a^2*b^19 - 80*C*a^3*b^18 - 120*C*a^4*b^17 + 27
6*C*a^5*b^16 + 164*C*a^6*b^15 - 360*C*a^7*b^14 - 100*C*a^8*b^13 + 212*C*a^9*b^12 + 24*C*a^10*b^11 - 48*C*a^11*
b^10 - 24*A*a*b^20))/(a*b^18 + b^19 - 3*a^2*b^17 - 3*a^3*b^16 + 3*a^4*b^15 + 3*a^5*b^14 - a^6*b^13 - a^7*b^12)
+ (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*6i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^19 - 8*a^2*b^18 - 32*a^3*b^17 + 32*a^4*b^16
+ 48*a^5*b^15 - 48*a^6*b^14 - 32*a^7*b^13 + 32*a^8*b^12 + 8*a^9*b^11 - 8*a^10*b^10))/(b^5*(a*b^14 + b^15 - 3*
a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8))))/b^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^1
4 + 288*C^2*a^14 + C^2*b^14 - 8*A^2*a*b^13 - 2*C^2*a*b^13 - 288*C^2*a^13*b + 24*A^2*a^2*b^12 + 32*A^2*a^3*b^11
- 52*A^2*a^4*b^10 - 48*A^2*a^5*b^9 + 57*A^2*a^6*b^8 + 32*A^2*a^7*b^7 - 32*A^2*a^8*b^6 - 8*A^2*a^9*b^5 + 8*A^2
*a^10*b^4 + 21*C^2*a^2*b^12 - 40*C^2*a^3*b^11 + 74*C^2*a^4*b^10 - 108*C^2*a^5*b^9 + 18*C^2*a^6*b^8 + 872*C^2*a
^7*b^7 - 827*C^2*a^8*b^6 - 1538*C^2*a^9*b^5 + 1538*C^2*a^10*b^4 + 1104*C^2*a^11*b^3 - 1104*C^2*a^12*b^2 + 4*A*
C*b^14 - 8*A*C*a*b^13 + 36*A*C*a^2*b^12 - 64*A*C*a^3*b^11 + 104*A*C*a^4*b^10 + 336*A*C*a^5*b^9 - 444*A*C*a^6*b
^8 - 544*A*C*a^7*b^7 + 598*A*C*a^8*b^6 + 376*A*C*a^9*b^5 - 376*A*C*a^10*b^4 - 96*A*C*a^11*b^3 + 96*A*C*a^12*b^
2))/(a*b^14 + b^15 - 3*a^2*b^13 - 3*a^3*b^12 + 3*a^4*b^11 + 3*a^5*b^10 - a^6*b^9 - a^7*b^8)))/b^5))*(C*a^2*6i
+ b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*2i)/(b^5*d) - ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*C*a^6 - C*b^6 - 6*A*a^2*b^4 + A*a^3*b^3 + 2*A*
a^4*b^2 + 8*C*a^2*b^4 - 10*C*a^3*b^3 - 23*C*a^4*b^2 + 5*C*a*b^5 + 6*C*a^5*b))/((a + b)*(b^6 - 2*a*b^5 + a^2*b^
4)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(36*C*a^7 + 3*C*b^7 - 6*A*a^2*b^5 - 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 + 6*A*a^5*b^2 + 5*C
*a^2*b^5 + 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 - 67*C*a^5*b^2 - 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^5 + a
^2*b^4)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*C*b^7 - 36*C*a^7 - 6*A*a^2*b^5 + 15*A*a^3*b^4 + 3*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2
+ 5*C*a^2*b^5 - 26*C*a^3*b^4 - 29*C*a^4*b^3 + 67*C*a^5*b^2 + 4*C*a*b^6 + 18*C*a^6*b))/((a + b)^2*(b^6 - 2*a*b^
5 + a^2*b^4)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(C*b^6 - 12*C*a^6 + 6*A*a^2*b^4 + A*a^3*b^3 - 2*A*a^4*b^2 - 8*C*a^2*b^4
- 10*C*a^3*b^3 + 23*C*a^4*b^2 + 5*C*a*b^5 + 6*C*a^5*b))/((a*b^4 - b^5)*(a + b)^2))/(d*(2*a*b + tan(c/2 + (d*x)
/2)^4*(6*a^2 - 2*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*a^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*a^2) + tan(c/2
+ (d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(d*x+c)**3*(A+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________